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非等间隔时间序列的指数加权移动平均

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指数加权移动平均（EWMA或EWA）是量化交易中一种简单而强大的工具，特别适用于日内交易。它允许交易者快速轻松地跟踪指定时间段内证券的平均价格，并可用于识别趋势并进行交易决策。

通常来说EWMA的数学公式可以表示为如下：

EWMAt=αxt+(1−α)EWMAt−1\text{EWMA}_{t} = \alpha x_t +(1 - \alpha) \text{EWMA}_{t-1}

所以其关键在于α\alpha的计算，在pandas所提供的api中，提供了alpha，halflife，span，com这四个表示不同但是相互等价的参数，通常使用的多为alpha和span。

其中com即为质心（Center of Mass），他的计算，可以认为是针对于每个时间点的权重的加权平均，所找到的位置，即：

CoM=∑t=0∞(1−α)tαt=α(1−α)∑t=0∞t(1−α)t−1=α(1−α)∑t=0∞[−(1−α)t]′=α(1−α)[−∑t=0∞(1−α)t]′=α(1−α)[−1α]′=1−αα\begin{aligned} \text{CoM} &= \sum_{t=0}^{\infty} (1 - \alpha)^t \alpha t \\ &= \alpha(1 - \alpha)\sum_{t=0}^{\infty} t(1-\alpha)^{t-1} \\ &= \alpha(1 - \alpha) \sum_{t=0}^{\infty} \left[-(1 - \alpha)^t\right]'\\ &= \alpha(1 - \alpha) \left[-\sum_{t=0}^{\infty} (1 - \alpha)^t\right]'\\ &= \alpha(1 - \alpha) \left[ - \frac{1}{\alpha}\right]' \\ &= \frac{1 - \alpha}{\alpha} \end{aligned}

化简上式，我们可以得到：

α=1/(1+CoM)\alpha = 1 / (1 + \text{CoM})

半衰期（Half-life）即为权重衰减到一半所需要的时间，所以我们可以得到：

(1−α)H=0.5⇒α=1−exp(−log2H)(1 - \alpha)^H = 0.5 \Rightarrow \alpha = 1 - \exp \left(-\frac{\log2}{H}\right)

以上均为时间间隔等长的情况，当面对不同间隔的时间序列的时候，我们可以使用index参数来指定时间序列的时间间隔，这样可以使得计算的结果更加准确。假设两个时间戳的间隔为dt，那么我们可以使用如下的公式来计算alpha：

α′=1−exp(−αdt)≈1−(1−αdt)=αdt\alpha' = 1 - \exp(-\alpha \text{d}t) \approx 1 - (1 - \alpha \text{d}t) = \alpha \text{d}t

当时间间隔总是为1的时候，实际上和最开始的公式基本等价。

考虑一个情形，依次有三个时间戳，分别为t0，t1，t2，那么dt1和dt2分别为t1 - t0和t2 - t1，那么我们可以使用如下的公式来计算alpha：

EWMA2=α2x2+(1−α2)EWMA1=α2x2+(1−α2)(α1x1+(1−α1)EWMA0)=α2x2+α1(1−α2)x1+(1−α1)(1−α2)EWMA0\begin{aligned} \text{EWMA}_2 &= \alpha_2 x_2 + (1 - \alpha_2) \text{EWMA}_1 \\ &= \alpha_2 x_2 + (1 - \alpha_2) \left(\alpha_1 x_1 + (1 - \alpha_1) \text{EWMA}_0\right) \\ &= \alpha_2 x_2 + \alpha_1(1 - \alpha_2) x_1 + (1 - \alpha_1)(1 - \alpha_2) \text{EWMA}_0 \end{aligned}

其中t0时刻的权重为：

(1−α1)(1−α2)=exp(−αdt1−αdt2)=exp(−α(t2−t0))(1 - \alpha_1)(1 - \alpha_2) = \exp(-\alpha \text{d}t_1 - \alpha \text{d}t_2) = \exp(-\alpha (t_2 - t_0))

这样即使当中有多个时间戳到达，对于同样间隔的数据点，其权重仍然一致。对应的python代码如下所示：

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from typing import Optional

import numpy as np


class EWMA(object):
    def __init__(
        self,
        com: Optional[float] = None,
        span: Optional[float] = None,
        halflife: Optional[float] = None,
        alpha: Optional[float] = None,
    ) -> None:
        assert (
            (com is None) + (span is None) + (halflife is None) + (alpha is None)
        ) == 3, "only one of com, span, halflife, alpha should be not None"
        if com is not None:
            self.alpha = 1 / (1 + com)
        elif span is not None:
            self.alpha = 2 / (span + 1)
        elif halflife is not None:
            self.alpha = 1 - np.exp(np.log(0.5) / halflife)
        elif alpha is not None:
            self.alpha = alpha

    def __call__(self, x: np.ndarray, index: Optional[np.ndarray] = None) -> np.ndarray:
        if index is not None:
            alpha = 1 - np.exp(-np.diff(index, prepend=0) * self.alpha)
        else:
            alpha = np.ones_like(x) * self.alpha

        ewma = np.zeros_like(x)
        ewma[0] = x[0]
        for i in range(1, len(x)):
            ewma[i] = alpha[i] * x[i] + (1 - alpha[i]) * ewma[i - 1]
        return ewma